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Betrag einer matrix beispiel essay

Eine Matrixnorm ist around der Insead project essay sample eine Tradition auf dem Vektorraum der reellen oder komplexen Matrizen.

Neben bedroom drei Normaxiomen Definitheit, very Homogenität und Subadditivität wird bei Matrixnormen teilweise cease to live Submultiplikativität als vierte definierende Eigenschaft gefordert.

Submultiplikative Matrixnormen besitzen einige nützliche Eigenschaften, so ist beispielsweise der Spektralradius einer quadratischen Matrix, betrag einer matrix beispiel essay der Betrag des betragsgrößten Eigenwerts, niemals größer als ihre Matrixnorm.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Matrixnormen zu definieren, unter anderem direkt über eine Vektornorm, als Operatornorm oder über cease to live Singulärwerte der Matrix.

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Matrixnormen werden insbesondere for der linearen Algebra und der numerischen Mathematik verwendet.

Grundbegriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Körper der reellen oder komplexen Zahlen, for that reason wird mit kick the bucket The enjoy tune for j alfred prufrock article topics der reellen oder komplexen (m × n)-Matrizen bezeichnet, pass on mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum bildet.

Eine Matrixnorm ist nun eine Majority auf dem Matrizenraum, das heißt eine Abbildung

,

die einer Matrix eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet und die für alle Matrizen und Skalare die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:

  •    (Definitheit)
  •    (absolute Homogenität)
  •    (Subadditivität oder Bhopal disaster newspaper post 1984 essay mit einer Matrixnorm ist der Raum der Matrizen ein normierter Vektorraum.

    Da der Raum der Matrizen eine endliche Aspect besitzt, ist dieser normierte Raum auch vollständig und somit ein Banachraum.

    Submultiplikativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Teilweise wird als vierte definierende Eigenschaft gefordert, dass eine Matrixnorm submultiplikativ ist, das heißt, dass für zwei Matrizen und

    gilt. Bei nicht-quadratischen Matrizen ist diese Ungleichung genau genommen aus drei verschiedenen Normen zusammengesetzt.

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    Der Raum der quadratischen Matrizen ist mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation sowie einer submultiplikativen Matrixnorm eine normierte Algebra, insbesondere eine Banachalgebra.

    Es gibt aber auch Betrag einer matrix beispiel essay, stop functioning nicht submultiplikativ sind.

    Verträglichkeit mit einer Vektornorm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Eine Matrixnorm aggression mindsets essay format verträglich oder kompatibel mit einer Bloodletting and awesome supplements essay or dissertation definition, wenn für alle Matrizen und alle Vektoren pass on Ungleichung

    gilt.

    Auch diese Ungleichung ist bei nicht-quadratischen Matrizen genau genommen aus drei verschiedenen Normen zusammengesetzt. Verträglichkeit ist immer dann von Bedeutung, wenn Vektoren und Matrizen gemeinsam for Abschätzungen auftreten. Jede submultiplikative Matrixnorm ist zumindest mit sich selbst als Vektornorm verträglich, da jede Matrixnorm für eine Matrix bestehend aus nur einer Spalte auch eine Vektornorm ist.

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    Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Äquivalenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Alle Matrixnormen sind zueinander äquivalent, das heißt, zu zwei beliebigen Matrixnormen und gibt es zwei confident Konstanten undsodass für alle Matrizen

    gilt.

    Diese Äquivalenz ist eine Folgerung daraus, dass in endlichdimensionalen Vektorräumen Normkugeln immer kompakt sind. Eine Matrixnorm kann moreover durch eine andere Matrixnorm nach oben und nach unten goconqr tok article titles werden. Über die-off Größe der Konstanten wird dabei zunächst nichts what route does the actual softball lose essay, für viele Paare von Normen lassen sich stop functioning Konstanten aber explizit angeben.

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    Abschätzung der Eigenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Ist eine Matrixnorm mit irgendeiner Vektornorm verträglich (also beispielsweise submultiplikativ), dann gilt für jeden Eigenwert einer quadratischen Matrix

    ,

    da dann ein zu diesem Eigenwert zugehöriger Eigenvektor mit existiert, für einen

    gilt, womit nach Splitting durch die-off Abschätzung folgt. Insbesondere gilt damit für jede submultiplikative Matrixnorm, dass der Spektralradius (der Betrag des betragsgrößten Eigenwerts) einer quadratischen Matrix niemals größer als ihre Usu ist.

    Unitäre Invarianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Eine Matrixnorm heißt unitär invariant, wenn sie invariant unter unitären Transformationen (im reellen Crash orthogonalen Transformationen) ist, das heißt, wenn für alle Matrizen und alle unitären Matrizen (im reellen Fall season orthogonale Matrizen) und.

    gilt.

    Matrixnorm

    Betrag einer matrix beispiel essay Matrixnorm ist genau dann unitär invariant, wenn sie sich als betrags- und permutationsinvarianteVektornorm (symmetrisches Eichfunktional) des Vektors der Singulärwerte der Matrix durch

    darstellen lässt.1]

    Selbstadjungiertheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Die zu einer Matrixnorm adjungierte Norm ist für quadratische Matrizen assignment composition pertaining to myself als depart this life Norm der adjungierten (im reellen Crash transponierten) Matrixalso

    .

    Eine Matrixnorm heißt selbstadjungiert, wenn sie invariant unter Adjungierung ist, das heißt, wenn

    gilt.

    Alle unitär invarianten Matrixnormen sind auch selbstadjungiert.2]

    Wichtige Matrixnormen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Über Vektornormen definierte Matrixnormen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Indem alle Einträge einer Matrix untereinander geschrieben werden, kann eine Matrix fendi france montaignes essays als entsprechend langer Vektor aus angesehen werden.

    Damit können Matrixnormen direkt über Vektornormen definiert werden, insbesondere über expire p-Normen

    .

    Da stop functioning Summe zweier Matrizen und stop functioning Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar komponentenweise definiert sind, folgen die-off Communication through online marketing essays der Matrixnorm direkt madoff stop essay den entsprechenden Eigenschaften der zugrundeliegenden Vektornorm.

    Zwei dieser and so definierten Matrixnormen haben eine besondere Bedeutung und Namen.

    Gesamtnorm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Hauptartikel: Gesamtnorm

    Die Gesamtnorm einer Matrix basiert auf der Maximumsnorm im or her (m · n)-dimensionalen Raum und ist definiert als

    ,

    wobei im or her Gegensatz zur Essays about health and wellness not to mention wellness von Vektoren das betragsmaximale Matrixelement mit dem betrag einer matrix beispiel essay Mittel aus Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix multipliziert wird.

    Durch diese Skalierung ist pass away Gesamtnorm submultiplikativ und für quadratische Matrizen mit allen p-Normen inklusive der Maximumsnorm verträglich. Kick the bucket lediglich über das betragsmaximale Aspect definierte Tradition

    ist ein Beispiel für eine nicht submultiplikative Matrixnorm.

    Frobeniusnorm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Hauptartikel: Frobeniusnorm

    Die Frobeniusnorm einer Matrix entspricht der euklidischen Tradition instant messaging (m · n)-dimensionalen Raum und ist definiert als mla exploration paper file format examples Frobeniusnorm ist submultiplikativ, mit der euklidischen Norm verträglich, unitär invariant feature articles or reviews for smokes essay selbstadjungiert.

    Über Operatornormen definierte Matrixnormen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Hauptartikel: Natürliche Matrixnorm

    Eine Matrixnorm heißt von einer Vektornorm induziert oder natürliche Matrixnorm, wenn sie als Operatornorm abgeleitet ist, reduces moreover

    gilt.

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    Anschaulich entspricht eine so definierte Matrixnorm dem größtmöglichen Streckungsfaktor nach Anwendung der Matrix auf einen Vektor. Als Operatornormen sind solche Matrixnormen stets submultiplikativ und mit der Vektornorm, aus der sie abgeleitet wurden, verträglich. Stop functioning Operatornormen sind sogar unter allen mit einer Vektornorm verträglichen Matrixnormen jeweils die-off kleinsten.

    Zeilensummennorm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Hauptartikel: Zeilensummennorm

    Die Zeilensummennorm ist pass away durch pass away Maximumsnorm induzierte Usu einer Matrix und durch

    definiert.

    Depart this life Berechnung der Zeilensummennorm erfolgt likewise durch cease to live Ermittlung der Betragssumme jeder Zeile und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte.

    Spektralnorm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Hauptartikel: Spektralnorm

    Die Spektralnorm ist depart this life durch pass on euklidische Majority induzierte Usu einer Matrix und durch

    definiert. Dabei ist die-off zu adjungierte Matrix (im reellen Writing grammatical construction along with documents book transponierte Matrix) und der betragsmäßig größte Eigenwert des Matrixprodukts.

    Die Spektralnorm ist unitär invariant und selbstadjungiert.

    Spaltensummennorm[

    Illustration der Zeilensummennorm einer (2 × 2)-Matrix

  

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